Definició

Sigui \(ABC\) un triangle. Siguin \(r_A\), \(r_B\) i \(r_C\) les rectes tangents al cicumcercle pels vèrtexs \(A , B , C\) respectivament. El triangle format per \(r_A , r_B , r_C\) s'anomena triangle tangencial d'\(ABC\).

Resultats

Proposició TTAN1: El triangle tangencial és el triangle antipedal de ABC respecte del circumcentre.

És el triangle anticevià del simedià.

El simedià d'ABC és el punt de Gergonne del triangle tangencial.

Proposició TTAN2: Siguin ABC un triangle i ABC’ el triangle tangencial de ABC. Aleshores les coordenades trilineals de A’, B’ i C’ són:

A’ = -a : b : c , B’ = a : -b : c , C’ = a : b : -c

Longitud dels costats a' = 2·a3·b·c/|a4 - (b2-c2)2|

Àrea = delta · |secA · sec B · sec C|/2

Proposició TTAN3: Siguin ABC un triangle, ABC’ el triangle tangencial i A’’B’’C’’ el triangle de contacte interior. Aleshores ABC i A'B'C' són en perspectiva i el centre de perspectiva és el simedià. A més, ABC’ i A’’B’’C’’ són en perspectiva i el centre de perspectiva és el punt de Gergonne.

Proposició TTAN4: Siguin ABC un triangle i ABC’ el seu triangle tangencial. Aleshores, les extensions dels costats del dos triangles es tallen en tres punts, P1, P2 i P3 que són alineats. Honsberger, R. Episodes in Nineteenth and Twentieth Century Euclidean Geometry. Washington, DC: Math. Assoc. Amer., pp. 151-153, 1995.

Proposició TTAN5: Siguin ABC un triangle i A'B'C' el seu triangle de contacte interior. Aleshores, el circumcentre del triangle tangencial és sobre la recta d'Euler.

Demostració.Honsberger, R. Episodes in Nineteenth and Twentieth Century Euclidean Geometry. Washington, DC: Math. Assoc. Amer., pàg. 151-153, 1995.

Kimberling, C. "Central Points and Central Lines in the Plane of a Triangle." Math. Mag. 67, 163-187, 1994.

Proposició TTAN6: Siguin ABC un triangle, AtBtCt el seu triangle tangencial, AiBiCi el seu triangle intangencial i AeBeCe el seu triangle extangencial. Aleshores, AtBtCt, AiBiCi, AeBeCe són homotètics i el centre d'homotècia és el punt X(55).

Sigui O el circumcentre d'ABC. Els circumcentres d'ABO, BCO i CAO formen un triangle OaObOc que és homotètic al triangle tangencial TaTbTc amb centre d'homotècia O.

El circumcentre del triangle tangencial és sobre la recta d'Euler.


Comparteix