Teorema Brianchon.01

Teorema de Brianchon

Si un hexàgon és inscrit a una cònica, aleshores les rectes que uneixen els vèrtexs oposats de l'hexàgon es tallen en un punt.

Nota: Aquest és el dual del teorema de Pascal.

En la figura pots moure els punts \(A,B,C,D,E,F\) per comprovar el resultat.

Demostració Brianchon.01

Siguin \(ABCDEF\) els punts de tangència de l'hexàgon amb la cònica. Pel teorema de Pascal, els punts

\(U=AB \cap DE\)

\(V=CD \cap AF\)

\(W=EF \cap BC\)

són alineats.

\(AB\) és la recta polar de \(I\) i \(DE\) és la recta polar de \(L\), per tant, la polar de \(U\) és \(IL\). Anàlogament, la polar de \(V\) és \(KN\) i la polar de \(W\) és \(JM\).

Així, el pol de \(UV\) és el punt d'intersecció \(KN \cap IL\) que és el mateix que el punt \(IL \cap JM\), pol de la recta \(UW\). Donat que \(U,V,W\) són alineats, els dos pols són el mateix i les tres rectes \(IL,KN,JM\) es tallen en un punt.