Teoremes bàsics

Teorema de Menelaus

Teorema Menelaus.01

Teorema de Menelaus

Siguin D, E i F punts sobre els costats BC, AC i AB respectivament. D, E, F estan alineats si i només si:

\(\frac{AF}{FB}\frac{BD}{DC}\frac{CE}{EA}=-1\)

Nota: Podeu moure els punt D, E i F per comprovar com varia el producte de proporcions segons si els tres punts són o no alineats.

Demostració Menelaus.01

Demostració Menelaus.01

Sigui r la recta que determina D, E i F. Tracem la paral·lela a AC per B que talla a r en G. Els triangles AEF i BGF són semblants. Pel teorema de Tales tenim que:

\(\frac{AF}{FB}=\frac{AE}{GB}\)

Els triangles ECD i GBD també són semblants i, aplicant de nou el teorema de Tales, tenim:

\(\frac{BD}{DC}=\frac{GB}{CE}\)

Multiplicant aquestes dues expressions obtenim:

\(\frac{AF}{FB}\frac{BD}{DC}=\frac{AE}{GB}\frac{GB}{CE}\)

Equivalentment:

\(\frac{AF}{FB}\frac{BD}{DC}\frac{CE}{AE}=1\)

Finalment, prenent \(EA = -AE\) tenim

\(\frac{AF}{FB}\frac{BD}{DC}\frac{CE}{EA}=-1\)