Teoremes bàsics

Teorema de Desargues

Teorema Desargues.01

Teorema de Desargues

Siguin \(A_1B_1C_1\) i \(A_2B_2C_2\) dos triangles en perspectiva. Aleshores els punts

\(\begin{matrix} A_2= B_1C_1 \cap B_2C_2\\ B_2= A_1C_1 \cap A_2C_2\\ C_2= A_1B_1 \cap A_2B_2 \end{matrix} \)

són alineats. La recta que conté aquests tres punts s'anomena eix de perspectiva.

Recíprocament, si els punts \(A_1B_1 \cap A_2B_2,B_1C_1 \cap B_2C_2,A_1C_1 \cap A_2C_2\) són col·lineals, aleshores els triangle \(A_1B_1C_1\) i \(A_2B_2C_2\) són en perspectiva.

En la figura pots moure els punt del triangle \(A_2B_2C_2\).

Demostració Desargues.01

Demostració Desargues.01

Considerem els triangles \(B_1C_1P\), \(C_1A_1P\) i \(A_1B_1P\) i, respectivament, les rectes \(B_2C_2A_3\), \(A_2C2B_3\) i \(A_2B_2C_3\).

El teorema de Menelaus, aplicat al primer triangle i a la primera recta, permet establir:

\(\frac{B_1A_3}{A_3C_1}\frac{C_1C_2}{C_2P}\frac{PB_2}{B_2B_1}=-1\)

Aplicant el mateix teorema als altres dos triangles i a les dues rectes corresponents obtenim:

\(\frac{C_1B_3}{B_3A_1}\frac{A_1A_2}{A_2P}\frac{PC_2}{C_2C_1}=-1\)

\(\frac{A_1C_3}{C_3B_1}\frac{B_1B_2}{B_2P}\frac{PA_2}{A_2A_1}=-1\)

Multiplicant les tres igualtats anteriors resulta:

\(\frac{B_1A_3}{A_3C_1}\frac{C_1B_3}{B_3P}\frac{A_1C_3}{C_3B_1}=-1\)

que en virtut del teorema de Menelaus implica que els punts \(A_3,B_3,C_3\) son col·lineals.

El recíproc es demostra suposant que els punts \(A_3,B_3,C_3\) son col·lineals y anomenant \(P = A_1A_2 \cap B_1B_2\). Els triangles \(A_1B_3A_2\) i \(B_1B_2A_3\) són copolars i per tant col·lineals,és a dir, \(P,C_1,C_2\) són alineats.