Teorema Ceva.01

Teorema de Ceva

Siguin \(A_1B_1C_1\) un triangle i \(A_2,B_2,C_2\) tres punts sobre els costats oposats als vèrtexs respectius. Les rectes \(A_1A_2,B_1B_2,C_1C_2\) són concurrents si i només si

\(\frac{A_1C_2}{C_2B_1}\frac{B_1A_2}{A_2C_1}\frac{C_1B_2}{B_2A_1}=1\)

Nota: En la figura de la dreta pots moure els punts \(A_2,B_2,C_2\) per comprovar com varia el producte de proporcions segons si les rectes siguin o no concurrents.

Demostració Ceva.01

Considerem el triangle \(A_1B_1B_2\) i els punts alineats \(C_1MC_2\) sobre els seus costats. Aplicant el teorema de Menelaus tenim que:

\(\frac{A_1C_2}{C_2B_1}\frac{B_1M}{MB_2}\frac{B_2C_1}{C_1A_1}=-1\)

Anàlogament, considerant el triangle \(C_1B_1B_2\) i els punts alineats \(A_1MA_2\) sobre els seus costats deduïm:

\(\frac{B_1A_2}{A_2C_1}\frac{C_1A_1}{A_1B_2}\frac{B_2M}{MB_1}=-1\)

Multiplicant aquestes dues expressions, simplificant i tenint en compte que \(B_2C_1=-C_1B_2\) i \(A_1B_2=-B_2A_1\), obtenim:

\(\frac{A_1C_2}{C_2B_1}\frac{B_1A_2}{A_2C_1}\frac{C_1B_2}{B_2A_1}=1\)


Comparteix