Teorema Chasles.01

Teorema de Chasles

Per quatre punts \(A,B,C,D\) d'una cònica no degenerada, la raó doble del feix de les quatre rectes des d'un cinquè punt \(E\) de la cònica als punts donats no depèn de l'elecció del punt \(E\).

Nota: En la figura de la dreta pots moure els punts \(A',D',E\) per comprovar el teorema.

Demostració Chasles.01

Triem un sistema de coordenades tal que \(X(1,0,0)\) i \(Y(0,1,0)\) són dos punts de la cònica, \(Z(0,0,1)\) és la intersecció de les tangents per \(X\) i per \(Y\) i (1,1,1) és un altre punt de la cònica. L'equació general d'una cònica és:

\(ax^2+bx^2+cz^2+fxy+ghz+hxy=0\)

Donat que la recta \(y=0\) és tangent en \((1,0,0)\), \(a=g=0\) perquè \(z=0\) és una arrel doble. Anàlogament, \(b=f=0\). Introduint el punt \((1,1,1)\), l'equació queda reduïda com

\(xy=z^2\)

Considerem el feix de rectes per \(X\) amb base \(y,-z\). La recta amb paràmetres \(s,t\) és \(sy=tz\) i talla a la cònica en el punt \((s^2,t^2,st)\). Els paràmetres \(s,t\) donen una paremetrització homogènia de la cònica.

Considerem ara el feix de rectes per \(Y\) amb base \(z,-x\). La recta \(sz=tx\) també talla la cònica en el punt \((s^2,t^2,st)\) i dóna la mateixa parametrització de la cònica. Això ens porta a concloure que la raó doble dels feixos des de \(X\) i des de \(Y\) per quatre punts de la cònica ha de ser la mateixa. Donat que els punts \(X\) i \(Y\) són arbitraris, el teorema queda demostrat.