Definició

Sigui \(O\) el punt d'origen del pla del triangle \(ABC\). Donat un punt qualsevol \(P\), notem \(\overrightarrow{p} = \overrightarrow{OP}\). Així, per dos punts qualssevol \(P\) i \(Q\) tenim \(\overrightarrow{PQ}=\overrightarrow{q} - \overrightarrow{p}\).

\(\left\{A;\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}\right\}\) és una referència afí del pla, per tant, per qualsevol punt \(P\) existeixen dos nombres reals \(y,z\) únics tal que:

\(\overrightarrow{AP} = y\overrightarrow{AB} + z\overrightarrow{AC}\)

Desenvolupant aquesta expressió i definint \(x = 1 - y - z\) obtenim:

\(\overrightarrow{p} - \overrightarrow{a} = y\left(\overrightarrow{b}-\overrightarrow{a}\right) + z\left(\overrightarrow{c}-\overrightarrow{a}\right)\)
\(\overrightarrow{p} = x\overrightarrow{a} + y\overrightarrow{b}+z\overrightarrow{c}\;\;,\;\;x+y+z=1\)

Així, per cada punt \(P\) del pla existeixen tres nombres reals \(x,y,z\) únics que satisfan les igualtats anteriors. Diem que \(x,y,z\) són les coordenades baricèntriques del punt \(P\) respecte del triangle \(ABC\) i s'escriu \(P(x,y,z)\).

Òbviament, les coordenades dels vèrtexs són \(A(1,0,0),B(0,1,0),C(0,0,1)\) i això ens permet escriure:

\(P=xA+yB+zC\)


Comparteix