Involució sobre una cònica

Siguin \(A,A',B,B',X\) cinc punts sobre una mateixa cònica. La involució d'\(X\) respecte d'\(A, A',B,B'\) és el punt de tall de la recta que passa per \(P = AA' \cap BB'\) i \(X\) amb la cònica.

En la figura interactiva, podeu moure els punts per veure com varia la involució de \(X\).

Definició

Quatre punts \(A,B,A',B'\) sobre una recta \(r\) es diu que estan en involució si existeix un punt \(O\) anomenat centre de la involució tal que:

\(OA · OA' = OB · OB'\)

Una involució queda determinada per dos parells de punts conjugats \((A,A')\) i \((B,B')\). En tal cas, per trobar la involució d'un punt \(Z\) sobre la recta dels quatre punts anteriors:

  1. Donat un punt \(P\) qualsevol que no estigui sobre \(r\), tracem les circumferències \(APA'\) i \(BPB'\).
  2. Sigui \(Q\) l'altre punt de tall de les dues circumferències anteriors.
  3. La circumferència \(PQZ\) talla la recta \(r\) en el seu conjugat \(Z'\).

En la figura interactiva, podeu moure el punt \(Z\) i comprovar com varia la seva imatge \(Z'\) per la involució.

Construccions

Resultats


Comparteix