Observa la paradoxa de Lewis Carroll i a continuació la seva justificació.

Paradoxa

En la figura interactiva de sota hi ha un quadrat de 64 unitats d'àrea dividit en quatre peces: dos triangles rectangles i dos trapezis.

Arrossega cadascuna de les peces per situar-les en el rectangle de la dreta. Pots girar els trapezis movent el punt que tenen en un dels seus vèrtexs.

Les peces encaixen i ara formen un rectangle de 65 unitats d'àrea. Com pot ser que hagi augmentat l'àrea en una unitat?

Desactiva l'opció Mostrar línies i comprendràs què ha passat.

Pots reiniciar la figura clicant sobre la icona superior dreta de la figura interactiva.

Aquesta paradoxa la va proposar Lewis Carroll, autor del llibre Alícia en el país de les meravelles, entre altres.

Justificació

La paradoxa de Lewis Carroll es basa en una curiosa propietat dels nombres de Fibonacci.

Els nombres de Fibonacci són una successió que comença per 1 i 1. Cada terme següent és la suma dels dos anteriors. Així, el següent terme és 1 + 1 = 2.

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 35, ...

La propietat que ens interessa és que el quadrat d'un nombre de Fibonacci és igual al producte de l'anterior i el posterior, sumant-li o restant-li 1.

Fixem-nos en els nombres que es troben en posicions parelles.

En la figura interactiva següent pots triar els nombres de Fibonacci en posició parella. Observa la relació entre el seu quadrat i el producte del seu anterior i posterior.

  • Si agafem el quart nombre de Fibonacci (n = 4), s'observa un forat gran en situar les peces del quadrat al rectangle.
  • Agafant el sisè nombre de Fibonacci (n = 6) s'obté la paradoxa que hem exposat anteriorment. Ara la diferencia és menor i es pot ocultar amb línies gruixudes com has observat en l'altra pestanya d'aquesta entrada.
  • Per nombres de Fibonacci més grans, aparentment no s'observa cap buit en el rectangle.
  • Tria el valor n = 10. Situa't sobre la diagonal del rectangle i, amb la rodeta del ratolí, fes zoom a la figura fins observar l'espai que apareix entre les peces. Aquí s'ha amagat el quadrat que falta!

Pots reiniciar la figura clicant sobre la icona superior dreta de la figura interactiva.


Comparteix