Matrius

Suma de matrius

Suma: Donades dues matrius A i B del mateix ordre, definim la matriu A + B com aquella matriu C que té per elements:

c_ij = a_ij + b_ij

{tab=Producte per un escalar}

Producte per un escalar: Donada la matriu A i el nombre real k, definim la matriu C = k·A com la que té per elements

c_ij = k·a_ij

{slide=Propietats}

Propietats de la suma

Siguin A, B i C matrius d'ordre m x n i 0 la matriu m x n que té tots els elements 0. La suma satisfà les popietats següents:

1. Associativa: (A + B) + C = A + (B + C)
2. Element neutre: A + 0 = 0 + A = A
3. Element simètric: A + (-A) = (-A) + A = 0
4. Commutativa: A + B = B + A

Propietats del producte per escalars

Siguin A i B matrius d'ordre m x n, r i s dos nombres reals. El producte per escalars satisfà les propietats següents:

1. Distributiva respecte la suma d'escalars: (r + s) · A = r · A + s · A
2. Distributiva respecte la suma de matrius: r · (A + B) = r · A + r · B
3. Associativa: r · (s · A) = (r · s) · A
4. Element unitat: 1 · A = A

Nota: el conjunt de totes les matrius d'un mateix ordre m x n amb la suma i el producte per escalars és un espai vectorial.

{/slide} {tab=Producte de matrius}

Producte de matrius: Donades les matrius A d'ordre m x n i B d'ordre n x l, definim la matriu C = A · B d'orden m x l com aquella que té per elements:

c_ij = a_i1 · b_1j + a_i2 · b_2j + ... + a_in · b_nj

És a dir , per obtenir l'element cij s'ha de multiplicar cada terme de la fila i de la matriu A pels corresponents de la columna j de la matriu B i anar sumant. Així, és necessari que el nombre de columnes de la matriu A coincideixi amb el nombre de files de la matriu B.

En l'exemple anterior, observa que per obtenir l'element c₁₄ multipliquem els elements de la fila 1 de la primera matriu pels de la columna 4 de la segona matriu:

1 · 2 + 3 · 0 + 5 · 2 = 12

i per obtenir l'element c₂₂ multipliquem els elements de la fila 2 de la primera matriu pels de la columna 2 de la segona matriu:

2 · 1 + 1 · (-1) + 4 · 1 = 5