Definició

Definició: Siguin r i s dues rectes del pla; siguin vr i vs els seus vectors directors. Diem que r i s són perpendiculars si, i només si, vr i vs són ortogonals.

Nota: recordem que dos vectors u i v són ortogonals si u · v = 0.

Exemple: Busca la recta perpendicular a r: 2x + y + 3 = 0 que passa per A(2,3).

{slide Veure resolució pas a pas|closed}

Siguin r: 2x + y + 3 = 0 i A(2,3). El vector director de r és vr = (1,-2), així la recta s perpendicular a r que passa per A tindrà per vector característic vsc = vr. És a dir:

s: x - 2y + C = 0

Per determinar el valor de C, substituim les coordenades del punt A en l'equació de s:

2 - 2·3 + C = 0 ; C = 4

Així, la recta perpendicular a r que passa poer A té per equació:

s: x - 2y + 4 = 0

{/slide}

Projecció ortogonal

Definició: Siguin r una recta i A un punt. La projecció ortogonal de A sobre r és el punt d'intersecció entre r i la recta s perpendicular a r que passa per A.

Exemple: Buscar la projecció ortogonal de A(2,3) sobre r: 2x + y + 3 = 0.

{slide Veure resolució pas a pas|closed}

Siguin r: 2x + y + 3 = 0 i A(2,3). En l'exemple anterior hem obtingut l'equació de la recta s, perpendicular a r que passa per A:

s: x - 2y + 4 = 0

Resolent el sistema format per ambdues equacions obtindrem el punt d'intersecció entre r y s, és a dir, la projecció ortogonal de A sobre r.

AP = (-2,1)

{/slide}

Definició: Siguin r una recta i A un punt. El simètric de A respecte r és el punt AS tal que AAR = ARAS, sent AP la projecció de A sobre r. Així:

AR - A = AS - AP y aislando AS tenemos que AS = 2AP - A.

Exemple: Buscar el simètric de A(2,3) respecte de r: 2x + y + 3 = 0.

{slide Veure resolució pas a pas|closed}

Siguin r: 2x + y + 3 = 0 i A(2,3). En l'exemple anterior hem obtingut la projecció de A sobre r:

AP = (-2,1)

Així, AS = 2AP - A = 2·(-2,1) - (2,3) = (-6,-1).

{/slide}

Comparteix