Definició

Definició: Siguin r i s dues rectes del pla.

  1. Diem que r i s són coincidents si tots els punts de r són també punts de s.
  2. Diem que r i s són secants si existeix un únic punt de r que és també punt de s.
  3. Diem que r i s són paral·leles si r i s no tenen cap punt en comú.

Nota: Donades les equacions de r i s podem determinar la seva posició relativa discutint el sistema format per aquestes equacions:

  1. r i s són coincidentes si, i només si, el sistema té infinites solucions (és compatible indeterminat).
  2. r i s són secants si, i només si, el sistema té una única solució (és compatible determinat).
  3. r i s són paral·leles si, i només si, el sistema no té cap solució (és incompatible).

Proposició

Proposició: Siguin r i s dues rectes del pla, \(\overrightarrow v_r \) i \(\overrightarrow v_s \) els seus vectors directors. Aleshores:

  1. r i s són coincidents si, i només si, existeix un punt de r que pertany a s i \(\overrightarrow v_r \) i \(\overrightarrow v_s \) són linealment dependents.
  2. r i s són secants si, i només si, \(\overrightarrow v_r \) i \(\overrightarrow v_s \) són linealment independents.
  3. r i s són paral·leles si, i només si, existeix un punt de rque no pertany a s i \(\overrightarrow v_r \) i \(\overrightarrow v_s \) són linealment dependents.

D'aquesta proposició es dedueixen els resultats següents:

  r: y = mx + n
s: y = m'x + n'
r: Ax + By + C = 0
s: A'x + B'y + C' = 0
r i s coincidents m = m' i n = n' \(\frac{A}{A'} = \frac{B}{B'} = \frac{C}{C'} \)
r i s secants mm' \(\frac{A}{A'} \neq \frac{B}{B'} \)
r i s paral·leles m = m' i n ¹ n' \(\frac{A}{A'} = \frac{B}{B'} \neq \frac{C}{C'} \)

A continuació disposes de dues figures interactives per comprovar en quins casos dues rectes són coincidents, secants o paral·leles.