Paramètriques

A partir de l'equació vectorial de la recta que passa pel punt \(P(a,b)\) i té direcció \(\overrightarrow{v}=(v_1,v_2)\):

\( (x,y)=(a,b)+k·(v_1,v_2)\)

s'obtenen les equacions paramètriques següents:

\( \left\{ \begin{matrix} x & = & a & + & k·v_1 \\ y & = & b & + & k·v_2 \end{matrix} \right. \)

Exemple: calculem les equacions paramètriques de la recta que passa pel punt \(P(2,-3)\) i té direcció \(\overrightarrow{v} = (4,-5)\)

L'equació vectorial és

\((x,y) = (2,-3) + k·(4,-5)\)

Operem per obtenir les equacions paramètriques:

\((x,y) = (2,-3) + k·(4,-5)\)
\((x,y) = (2,-3) + (4k , -5k)\)
\((x,y) = (2 + 4k , -3 - 5k)\)

\( \left\{ \begin{matrix} x & = & 2 & + & 4k \\ y & = & -3 & - & 5k \end{matrix} \right. \)

Contí­nua

Aillant \(k\) de les dues equacions paramètriques i igualant les expressions tenim:

\(\frac{x-a}{v_1}=\frac{x-b}{v_2}\)

Exemple: Aïllem \(k\) de les equacions paramètriques obtingudes a l'exemple anterior:

\( \left\{ \begin{matrix} k & = \frac{x-2}{4} \\ k & = \frac{x+3}{-5} \end{matrix} \right. \)

i igualem els valors obtinguts:

\( \frac{x-2}{4} = \frac{x+3}{-5} \)

Implí­cita

Operant adequadament es pot obtenir una equació de la forma següent:

\(Ax + By + C = 0\)

Exemple: operant l'equació anterior tal com s'indica:

\(-5(x - 2) = 4(y + 3)\)
\(-5x + 10 = 4y + 12 \)
\(-5x - 4y +10 -12 = 0\)

obtenim l'equació implícita:

\(-5x -4y -2 = 0\)

Explí­cita

Aïllant la variable dependent \(y\) s'obté l'equació explícita:

\(y = mx + n\)

on \(m\) és el pendent de la recta i \(n\) és l'ordenada a l'origen.

Exemple: Aïllem \(y\) de l'equació anterior:

\(y=-\frac{5}{4}x-\frac{2}{4}\)

Així, el pendent de la recta és \(m = -\frac{5}{4}\) i l'ordenada a l'origen és \(n = -\frac{1}{2}\).


Comparteix