Definició

Siguin \( P\) un punt i \( \overrightarrow{v}\) un vector lliure no nul del pla. S'anomena recta que passa per \( P\) i té direcció \( \overrightarrow{v}\) el conjunt de punts \( X\) del pla que satisfan

\( X=P+k·\overrightarrow{v}\)

per algun valor real de \( k\).

Fixat un sistema de referència, tenim que \( P=(a,b)\), \( X=(x,y)\) i \(\overrightarrow{v}=(v_1,v_2)\)de manera que podem escriure:

\( (x,y)=(a,b)+k·(v_1,v_2)\)

Aquesta equació s'anomena equación vectorial de la recta.

Exemple

Exemples: Considerem la recta \(\sf r\) de vector director \(\sf \overrightarrow{v}=(2,1)\) que passa pel punt \(\sf P(3,2)\). La seva equació vectorial és:

\(\sf (x,y)=(3,2)+k·(2,1)\)

Per determinar un punt de la recta només cal substituir qualsevol valor real en \(\sf k\), com es pot veure en la figura interactiva de la dreta.

Completa la taula següent:

\(\sf k\) \(\sf X\) \(\sf k\) \(\sf X\)
-5 (, ) 1 (, )
-4 (, ) 2 (, )
-3 (, ) 3 (, )
-2 (, ) 4 (, )
-1 (, ) 5 (, )

Mou el punt lliscant \(\sf k\) per observar com el punt \(\sf X\) es mou sobre la recta i per determinar-ne les coordenades.

Exercici