Dependència lineal

Definició: Donats dos vectors u i v del pla direm que són linealment dependents si existeix un nombre real r tal que u = r · v o v = r · u. En cas contrari, diem que són linealment independents.

Exemples:

1. Els vectors u = (2 , 4) i v = (6 , 12) són linealment dependents ja que v = 3 · u.
2. Els vectors u = (2 , 4) i v = (2 , 8) són linealment independents ja que no existeix cap valor de r tal que u = r · v o v = r · u.

Nota: Dos vectors no nul linealment dependents tenen components múltiples un de l'altre.

Proposició: Siguin u = (u1,u2) i v = (v1,v2) dos vectors. u i v són linealment dependents si, i només si, u1·v2 = u2·v1.

Nota: Gràficament, dos vectors no nuls linealment dependents tenen la mateixa direcció.

Exemple: Manipula els vectors de la figura interactiva següent i observa els càlculs realitzats; donat que u1·v2 no és igual a u2·v1, aleshores u i v són independents.

Utilitzant la figura anterior, determina si els parells de vectors següents són dependents o independents.

u(-2,6)
v(3,-9)

 
u(2,5)
v(3,6)

 
u(-5,-3)
v(5,-3)

u(2,-4)
v(-3,6)